一次回归正交设计、二次回归正交设计、二次回归旋转设计说明

.. . .. . .. 一次回归正交设计 某产品的产量与时间、温度、压力和溶液浓度有关。实际生产中,时间掌握在30~40min,温度掌握在50~600C,压力掌握在2*105~6*105Pa,溶液浓度掌握在 20%~40%,考察 Z1~Z2 的一级交互作用。

Z1/min Z2/oC Z3/*105Pa Z4/% 30 50 2 20 40 60 6 40 35 55 4 30 5 5 2 10 X1=〔Z1-35〕 /5 X2=(Z2-55〕 /5 X3=(Z3-4)/2 X4=(Z4-30)/1 0 因素编码 Zj(xj) 下水平 Z1j 〔-1〕 上水平 Z2j 〔+1〕 零水平 Z0j 〔0〕 变化间距编码公式 选择 L8〔27)正交表 因素 x1,x1,x3,x4 依次安排在第 1、2、4、7 列,交互项安排在第 3 列。

试验号 X0 X1(Z1) X2(Z2) X3(Z3) X4(Z4) X1X2 Yi 1 1 1 1 1 1 1 9.7 . 专业学习资料 . .. . .. . .. 2 1 1 1 -1 -1 1 4.6 3 1 1 -1 1 -1 -1 10.0 4 1 1 -1 -1 1 -1 11.0 5 1 -1 1 1 -1 -1 9.0 6 1 -1 1 -1 1 -1 10.0 7 1 -1 -1 1 1 1 7.3 8 1 -1 -1 -1 -1 1 2.4 9 1 0 0 0 0 0 7.9 10 1 0 0 0 0 0 8.1 11 1 0 0 0 0 0 7.4 Bj=∑xjy 87.4 6.6 2.6 8.0 12.0 -16.0 aj=∑xj2 11 8 8 8 8 8 bj = Bj /aj Qj = 7.945 393 0.825 5.445 0.325 0.845 1.000 8.000 1.500 18.000 -2.00 32.000 Bj2 /aj 可建立如下的回归方程。

Y=7.945+0.825x1+0.325x2+x3+1.5x4-2x1x2 显著性检验:
. 专业学习资料 . .. . .. . .. 1、回归系数检验 回归关系的方差分析表 变异来源 SS 平方和 Df 自由度 MS 均方 F 显著水平 x1 5.445 1 5.445 76.25 0.01 x2 0.845 1 0.845 11.83 0.05 x3 8.000 1 8.000 112.04 0.01 x4 18.000 1 18.000 252.10 0.01 x1x2 32.000 1 32.000 448.18 0.01 回归 64.29 5 12.858 180.08 0.01 剩余 0.357 5 0.0714 失拟 0.097 3 0.0323 0.25 <1 误差 e 0.26 2 0.13 总和 64.647 10 经 F 检验不显著的因素或交互作用直接从回归方程中剔掉,不必再重进展回 . 专业学习资料 . .. . .. . .. 归分析。

2、回归方程的检验 进展此项检验时,通常对F 值小于等于1 的项不进展检验,直接从回归方程中剔除,对经检验而 α>0.25 的项,依据实际需要打算是否剔除。

3、失拟检验 由回归系数的检验,回归方程的检验,失拟检验可以得出, 产量 y 与各因素之间的总回归关系到达显著,回归方程拟合效果较好。

回归方程的变换 将各因素的编码公式代入,得 Y=-162.05+4.57z1+2.87z2+0.50z3+0.15z4-0.08z1z2 MS F = Lf = Lf MS e  SS df Lf Lf SS df e e . 专业学习资料 . .. . .. . .. 二次回归正交设计 某食品加香试验,3 个因素,即 Z1(香精用量)、 Z2(着香时间) 、 Z2(着香温度) (1) 确定γ 值、 mc 及 m0 。

依据本试验目的和要求,确定 mc= 2 m = 2 3 = 8 , m0 =1 ,查表得γ =1.215。

(2) 确定因素的上 、下水平,变化间距以及对因子进展编码 (γ代表上限和下限- 晶〕 . 专业学习资料 . .. . .. . .. Z1/(mL/kg 物 编码 Z2 / h Z3 / +γ 料) 18 24 48 + 1 16.94 22.6 45.7 0 12 16 35 - 1 7.06 9.4 24.3 -γ 6 8 22 Δi 4.94 6.6 10.7 ℃ 计算各因素的零水平:
Z01 =(18+6)/2=12 (mL/kg) Z02 =(24+8)/2=16 (h) Z03 =(48+22)/2=35 (℃) 计算各因素的变化间距:
Δ01 =(18-12)/1.215=4.94 (mL/kg) Δ02 =(24-16)/1.215=6.6 (h) Δ03 =(48-35)/1.215=10.7 (℃) . 专业学习资料 . .. . .. . .. (3) 列出试验设计及试验方案 试 验 设 计 试验 /kg) /h 度/ ℃ 1 1 1 1 16.94 22.6 45.7 2 1 1 -1 16.94 22.6 24.3 3 1 -1 1 16.94 9.4 45.7 4 1 -1 -1 16.94 9.4 24.3 5 -1 1 1 7.06 22.6 45.7 6 -1 1 -1 7.06 22.6 24.3 7 -1 -1 1 7.06 9.4 45.7 8 -1 -1 -1 7.06 9.4 24.3 9 1.215 0 0 18 16 35 10 -1.215 0 0 6 16 35 11 0 1.215 0 12 24 35 12 0 -1.215 0 12 8 35 号 x0 x1 x2 实 施 方 案香精用量/(mL 着香时间  着香温 . 专业学习资料 . .. . .. . .. 试验号 1 x 0 1 x 1 1 x 2 1 x 3 1 x x 1 2 1 x x 1 3 1 x x 2 3 1 x¢ 1 0.27 x¢ 2 0.27 x¢ 0.27 结果〔y 〕 2.32 2 1 1 1 -1 1 -1 -1 0.27 0.27 0.27 1.25 3 1 1 -1 1 -1 1 -1 0.27 0.27 0.27 1.93 4 1 1 -1 -1 -1 -1 1 0.27 0.27 0.27 2.13 5 1 -1 1 1 -1 -1 1 0.27 0.27 0.27 5.85 6 1 -1 1 -1 -1 1 -1 0.27 0.27 0.27 0.17 7 1 -1 -1 1 1 -1 -1 0.27 0.27 0.27 0.80 8 1 -1 -1 -1 1 1 1 0.27 0.27 0.27 0.56 9 1 1.215 0 0 0 0 0 0.746 -0.73 -0.73 1.60 10 1 -1.215 0 0 0 0 0 0.746 -0.73 -0.73 0.56 11 1 0 1.215 0 0 0 0 -0.73 0.746 -0.73 5.54 12 1 0 -1.215 0 0 0 0 -0.73 0.746 -0.73 3.89 13 1 0 0 1.215 0 0 0 -0.73 -0.73 0.746 3.57 14 1 0 0 -1.215 0 0 0 -0.73 -0.73 0.746 2.52 15 1 0 0 0 0 0 0 -0.73 -0.73 -0.73 5.80 a = åx2 åy2 = 3 j j 15 10.9525 10.9525 10.9525 8 8 8 4.3607 4.3607 4.3607 51.8443 37.37 2.6336 7.2948 9.1858 -6.27 -6.17 5.59 -10.2023 0.5286 -4.3721 b = åx y j j SS = y 58.7432 0 0.2405 0.6660 0.8387 -0.7838 -0.7713 0.6988 -2.3395 0.1212 -1.0093 0.6333 4.8586 7.7040 4.9141 4.7586 3.9060 23.8676 0.0641 4.4422 b = B a b j j j SS = R 55.2032 j j j r 13 0 0 1.215 12 16 48 Q = B2 a SS =3.540 b = 1 å y - 1 å x2 · åm b = 37.37 - 10.9525 (-2.3395 + 0.1212 -1.0093)= 4.9091 0 N14 N 0 aj  j =1 0jj 15-1.21515 12 16 22 15 0 0 0 12 16 35 试验结果的统计分析 建立回归方程 . 专业学习资料 . .. . .. . .. 回归关系的显著性测验。

y = 4.9091 + 0.2405x 1 + 0.6660 x 2 + 0.8387 x 3 - 0.7838x x 1 2 - 0.7713x x 1 3 + 0.6988x x - 2.3395x2 + 0.1212 x2 -1.0093x2 2 3 1 2 3 . 专业学习资料 . .. . .. . .. 变异来源 平方和(SS) 自由度(df) 均方(MS) F 显著程度 x1 0.63327 1 0.63327 <1 ns x2 4.85856 1 4.85856 6.8624* 0.05(6.61) x3 7.70400 1 7.70400 10.8814* 0.05(6.61) x1x2 4.91410 1 4.91410 10.3994* 0.05(6.61) x1x3 4.75861 1 4.75861 6.9409* 0.05(6.61) x2x3 3.90601 1 3.90601 5.5170 0.10(4.06) x12 23.86763 1 23.86763 33.7116** 0.01(16.30) x22 0.06407 1 0.06407 <1 ns x32 4.44220 1 4.44220 6.2743 0.10(4.06) 回归 55.20320 9 6.13369 8.6635* 0.05(4.77) 剩余 3.53998 5 0.70799 总变异 58.74317 14 . 专业学习资料 . .. . .. . .. 方差分析说明,总回归到达显著水平,说明本食品的加香试验与所选因素之间存在显著的回归关系 ,试验设计方案是正确的,选用二次正交回归组合设计也是恰当的。除 x1 和 x22 以外,其余各项因子根本到达显著或极显著 ,说明香料用量、着香时间、着香温度与这一食品的加香有显著或极显著关系 。本试验设计的因素、水平选择是成功的。

在这种回归正交试验中 ,第一次方差分析往往由于误差 〔剩余〕自由度偏小而影响了检验的准确度 。并且由于回归正交试验打算具有的正交性,保证了试验因素的列与列之间没有互作 〔即没有相关性〕存在,因此我们可以将未到达 0.25 以上显著水平的因素 〔或者互作〕剔除,将其平方和和自由度并入误差 〔剩余〕项,进 行其次次方差分析,以提高检验的准确度。其次次方差分析结果见下表:
变异 平方和 自由 来源 (SS) 度(df) x2 4.85856 1 4.85856 x3 7.70400 1 7.70400 均方(MS) F 显著程度 8.0263* 12.7269* * 0.05 〔5.59〕 0.01 〔12.20 〕 . 专业学习资料 . .. . .. . .. x1x2 4.91410 1 4.91410 8.1180* x1x3 4.75861 1 4.75861 7.8612* x2x3 3.90601 1 3.90601 6.4527* x1 23.8676 3 1 23.86763 39.4290* * x3 4.44220 1 4.44220 7.3385* 2 2 54.2426  12.8012* 0.05 0.05 〔5.59〕 0.05 〔5.59〕 0.01 〔12.20 〕 0.05 〔5.59〕 0.01 回归 7 5 7.74895 * 〔6.99〕 剩余 4.23732 7 总变 58.4799 14 异 7 0.60533 其次次方差分析说明 ,总回归及各项因素均到达显著或极显著水平,说明这一食品加香与试验因素之间存在极显著的回归关系 , 其优化的回归方程为:
. 专业学习资料 . .. . .. . .. 本试验由于 m0=1,故不能进展失拟检验 ,这是试验的一个缺陷。假设取 m0=4,对试验进展失拟检验,则本试验将更为圆满。

二次回归旋转设计 对乳酸发酵的产酸条件进展优化试验 ,承受二次回归旋转设计对盐浓度 、糖浓度、发酵温度和发酵时间进展试验。

因素水平表 编码 盐浓度 /% x1 糖浓度 /% x2 发酵温度 /℃ x3 发酵时间 x4 /h +2 8.0 6.0 37.0 48 +1 7.0 5.0 34.0 44 y = 4.9091 + 0.6660 x + 0.8387 x - 0.7838 x x - 0.7713x x - 0.6988 x x - 2.3395 x2 -1.0093x2 2 3 1 2 1 3 2 3 1 3 0 6.0 4.0 31.0 40 -1 5.0 3.0 28.0 36 . 专业学习资料 . .. . .. . .. -2 4.0 2.0 25.0 32 设计方案及结果 处理号 x1 x2 x3 x4 含酸量 yα/ % . 专业学习资料 . .. . .. . .. 1 1 1 1 1 0.654 2 1 1 1 -1 0.433 3 1 1 -1 1 0.538 4 1 1 -1 -1 0.321 5 1 -1 1 1 0.314 6 1 -1 1 -1 0.279 7 1 -1 -1 1 0.295 8 1 -1 -1 -1 0.242 9 -1 1 1 1 0.779 10 -1 1 1 -1 0.594 11 -1 1 -1 1 0.710 12 -1 1 -1 -1 0.529 13 -1 -1 1 1 0.481 14 -1 -1 1 -1 0.307 15 -1 -1 -1 1 0.328 . 专业学习资料 . .. . .. . .. 处理号 x1 x2 x3 x4 含酸量 16 -1 -1 -1 -1 0.291 17 2 0 0 0 0.125 18 -2 0 0 0 0.648 19 0 2 0 0 0.785 20 0 -2 0 0 0.213 21 0 0 2 0 0.429 22 0 0 -2 0 0.198 23 0 0 0 2 0.842 24 0 0 0 -2 0.486 25 0 0 0 0 0.797 26 0 0 0 0 0.709 27 0 0 0 0 0.759 28 0 0 0 0 0.694 yα/ % . 专业学习资料 . .. . .. . .. 29 0 0 0 0 0.728 30 0 0 0 0 0.738 31 0 0 0 0 0.746 = y Ù 依据0计.7算448 - 0.0829 x x - 0.0012 x x - 0.0032 x x + 0.0086 x x + 1 2 1 2 1 4 2 3 建立0回.0归2方4程3 x + 0.1319 x 1 + 0.0437 x 2 + 0.0786 x - 3 4 0.0316 x x + 0.0079 x x - 0.0934 x 2 - 0.0652 x 2 - 2 4 3 4 1 2 0.1116 x 2 3 - 0.0239 x 2 4 回归方程的显著性检验 . 专业学习资料 . .. . .. . .. 平方和 SS x1 0.16484 1 0.16484 49.28 8.53 x2 0.41738 1 0.41738 127.79 x3 0.04585 1 0.04585 13.71 x4 0.13726 1 0.13726 41.04 x1 x2 0.00946 1 0.00946 2.83 x1 x3 0.00002 1 0.00002 <1 x1 x4 0.00016 1 0.00016 <1 x2 x3 0.00117 1 0.00117 <1 x2 x4 0.01594 1 0.01594 4.77 4.49 x3 x4 0.00101 1 0.00101 <1 x1′ 0.16884 1 0.16884 50.48 x2′ 0.07959 1 0.07959 23.79 x3′ 0.34411 1 0.34411 102.88 x4′ 0.01648 1 0.01648 4.93 回归 1.40211 0.10015 29.94 3.56 剩余 0.05352 0.00334 误差 0.00853 0.00142 失拟 0.04499 0.00450 3.17 4.74 变异缘由 自由度 df 均方 MS F 值 显著程度 . 专业学习资料 . .. . .. . .. 总变异 1.45563 通过回归方程检验,回归系数检验,失拟检验,可以看出,回归到达极显著水平。说明本试验设计及分析效果都很好 ,各因素间显著与不显著也很清楚。因此没有必要做二次回归方差分析 ,可直接将F<1 的回归系数去掉而得到含酸量与各因素间的回归方程为:
y Ù = 0.7448-0.0829x 1 + 0.1319x 2 + 0.0437 x 3 + 0.0786x - 4 0.0243x x + 0.0316x x -0.0934x2 - 0.0652x2 - 0.1116x2 - 0.0239x2 1 2 2 4 1 2 3 4 . 专业学习资料 .

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